因果力学的単体分割(CDT)とは？数式で理解する時間と空間の構造

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因果力学的単体分割（Causal Dynamical Triangulations, CDT）は、量子重力を記述する試みの一つであり、時間と空間を離散的な単体（三角形や四面体など）で構成し、それらを因果関係に基づいて組み立てる方法です。この理論は、時空の微細構造が量子スケールでどのような振る舞いをするのかを理解するために重要です。この記事では、CDTの基本概念を数式を使って解説し、具体的な数値や雑学を交えながら、一般の人も専門家も楽しめるようにしていきます。

1. 因果力学的単体分割の基本概念

CDTは、従来の「連続的な時空」の概念を捨て、「離散的な時空」を考えます。このとき、時空は「単体（simplices）」と呼ばれる基本的な幾何学的要素で構成されます。次元 $d$ における基本単体は以下のようになります：

$d = 1$ （一次元）：線分
$d = 2$ （二次元）：三角形
$d = 3$ （三次元）：四面体
$d = 4$ （四次元）：五胞体（4次元の四面体）

CDTでは、これらの単体を時間方向と空間方向に分け、因果関係が成り立つように並べます。時間の流れを保存するため、すべての単体が「因果構造を持つ」ことが前提となります。

2. CDTの数学的定式化

CDTの基本的な考え方は、時空を有限個の単体で近似し、経路積分を行うことにあります。まず、経路積分の基本式を考えましょう。

$Z = \sum_{\mathcal{T}} e^{-S[\mathcal{T}]}$

ここで：

$Z$ ：経路積分（分配関数）
$\mathcal{T}$ ：すべての可能な単体分割の集合
$S[\mathcal{T}]$ ：各単体分割に対応する作用（アクション）

この経路積分は、すべての可能な単体分割について作用 $S[\mathcal{T}]$ を指数関数で重み付けして足し合わせたものです。

3. CDTの作用

CDTでは、作用 $S[\mathcal{T}]$ は「離散アインシュタイン・ヒルベルト作用」に基づいて定義されます。リッジ・レジ作用（Regge action）を用いると、次のように書けます：

$S[\mathcal{T}] = \frac{1}{G} \sum_{\sigma^{(d-2)}} V_{\sigma^{(d-2)}} \delta_{\sigma^{(d-2)}}$

ここで：

$G$ ：重力定数（ $G \approx 6.674 \times 10^{-11}$ m $^3$ kg $^{-1}$ s $^{-2}$ ）
$\sigma^{(d-2)}$ ： $(d-2)$ 次元の単体（たとえば、4次元では2次元の面）
$V_{\sigma^{(d-2)}}$ ：対応する単体の体積
$\delta_{\sigma^{(d-2)}}$ ：「二面角」と呼ばれる幾何学的な角度

この作用の形は、一般相対性理論におけるリッチスカラーを離散的に近似したものになっています。

4. 具体的な数値と計算例

例えば、二次元時空において、CDTの単位セルを正三角形とした場合、その面積 $A$ は単位辺長 $a$ に対して：

$A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$

と計算されます。仮に $a = 1$ mm（ $10^{-3}$ m）とすると、

$A \approx \frac{\sqrt{3}}{4} \times (10^{-3})^2 = 4.33 \times 10^{-7} \text{ m}^2$

となります。このように、CDTのモデルでは個々の単体のサイズを定め、それらを組み合わせることで大きな時空を構成するのです。

5. 雑学：なぜCDTが重要なのか？

時空の泡
量子重力理論では、非常に小さなスケールでは時空が「泡」のようにゆらいでいると考えられています。CDTの計算では、特定の条件下で「古典的な時空が自発的に出現する」ことが確認されています。
ブラックホールとの関係
CDTは、ブラックホールの特異点を回避する方法の一つと考えられています。従来の理論ではブラックホールの中心に無限大の密度を持つ特異点が生じますが、CDTでは因果構造が制約を与えるため、特異点のない時空を記述できる可能性があります。
多次元時空の可能性
CDTは4次元時空だけでなく、高次元にも拡張可能です。もし宇宙が実際には10次元以上だった場合、CDTによってその構造をシミュレーションすることができます。