超次元の謎に迫る！カラビ・ヤウ空間とは？

 

この世界は、縦・横・高さの3次元空間と時間を含めた4次元時空で成り立っています。しかし、物理学の最前線である超弦理論では、時空は10次元（M理論では11次元）であると考えられています。

その余剰次元を説明するために登場するのが「カラビ・ヤウ空間」です。

この特殊な高次元多様体は、物理学だけでなく純粋数学の分野でも重要な研究対象となっており、複雑で美しい幾何学構造を持っています。本記事では、カラビ・ヤウ空間の定義や数学的性質、物理学への応用を解説していきます

1. カラビ・ヤウ空間とは何か？

カラビ・ヤウ空間（Calabi-Yau manifold）は、数学や物理学、とくに超弦理論（string theory）において重要な役割を果たす特殊な多様体である。これらは「コンパクトなケーラー多様体であり、第一チャーン類がゼロであるリーマン多様体」と定義される。直感的に言えば、複数の次元を折りたたんで形成される高次元の幾何学的構造である。

例えによるイメージ

1. 風船の中に小さな風船があるイメージ
   普通の風船は3次元の空間で丸く膨らんでいますが、カラビ・ヤウ空間を想像する際には、1つの大きな風船の中に、目に見えないような小さな風船がたくさん隠れているというイメージを持ってください。この小さな風船は、私たちの直接的な視覚では捉えられませんが、実際にはその中に別の次元が詰まっているのです。カラビ・ヤウ空間はその隠れた次元がどう配置されているかを示す数学的な構造です。

2. ねじれた紙のような形
   もし、あなたが平らな紙を小さく丸めると、紙自体が「円」を形成しますが、その円はただの円ではなく、非常に複雑にねじれています。カラビ・ヤウ空間も同じように、私たちの目には普通の形に見えても、その中で隠れた次元や構造が存在し、これらは非常に小さくて目に見えないのです。それでもその形が、物理学の理論や宇宙の構造に深い影響を与えているというわけです。

これらの例えを使うと、カラビ・ヤウ空間が持つ「隠れた次元」や「複雑でねじれた構造」のイメージが少し理解しやすくなるかと思います。

2. カラビ・ヤウ空間の数学的定義

カラビ・ヤウ空間の特徴は、以下の条件を満たすことで定義される：

・ケーラー多様体であること（複素多様体上の計量がケーラー形式を満たす）

空間が複素構造を持ち、かつその上で「距離」や「角度」が適切に定義されるような、特別な幾何学的性質を持つ空間です。

・リッチ曲率がゼロであること（重力方程式の真空解）

空間の曲がり具合が均等で全体的に「歪み」がない状態

・第一チャーン類がゼロであること（特定のホロノミー群 SU(n) を持つ）

その空間に基本的なねじれ（曲率の偏り）がなく、局所的にフラットな構造を持つ

これを数式で表すと、リッチ曲率 $R_{i\bar{j}}$ は以下のようにゼロになる：

$$R_{i\bar{j}} = \partial_i \partial_{\bar{j}} \log \det(g_{m\bar{n}}) = 0$$

ここで、

• $R_{i\bar{j}}$ はリッチ曲率。
• $g_{m\bar{n}}$ はカラビ・ヤウ多様体の計量テンソル。
• $\det(g_{m\bar{n}})$ は計量の行列式。
• $\partial_i$ は偏微分演算子。

この条件が成り立つことで、超弦理論に適した形状を持つ空間が得られる。

3. カラビ・ヤウ空間の次元

カラビ・ヤウ空間は一般に6次元のコンパクトな空間として登場する。これは超弦理論の10次元時空（4次元の時空 + 6次元のカラビ・ヤウ空間）が求める条件と一致する。

超弦理論では、粒子がこの6次元の空間を「巻きついて」運動することで、標準模型（素粒子の振る舞いを記述する理論）の性質が決まる。

4. 具体的な数値例

カラビ・ヤウ空間の例として、有名な「クインティック三次元多様体（Quintic threefold）」を考える。この多様体は以下のような方程式で表される：

$$P(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = x_1^5 + x_2^5 + x_3^5 + x_4^5 + x_5^5 = 0$$

ここで、

• $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ は複素射影空間 $\mathbb{CP}^4$ の座標。

この方程式を満たす点の集合がカラビ・ヤウ多様体の一例となる。この特定のカラビ・ヤウ空間は 101 のカール群（トポロジー的な構造を特徴づける数値）を持ち、多くの超弦理論のシナリオで重要な役割を果たしている。

5. 物理学への応用

カラビ・ヤウ空間は超弦理論において「余剰次元を巻き取る形」として知られる。例えば、10次元時空のうち4次元は私たちが観測できる通常の時空であり、残りの6次元はカラビ・ヤウ空間として極小化されている。

この空間の形状が、素粒子の性質や力の強さを決める役割を果たすと考えられている。特に、カラビ・ヤウ空間の形状により、ゲージ群の種類やフェルミオンの質量などが影響を受ける。

6. 雑学：カラビ・ヤウ空間の視覚化

カラビ・ヤウ空間は高次元であるため、直接見ることはできないが、数学的な手法を使って3次元に投影した画像が作成されている。これにより、数学者や物理学者は空間の形状を研究できる。

また、コンピュータグラフィックスを利用することで、カラビ・ヤウ空間の視覚的なイメージが作られており、サイエンスアートとしても人気がある。

7. まとめ

カラビ・ヤウ空間は数学と物理学を結びつける重要な概念であり、超弦理論において余剰次元をコンパクト化するための理論的基盤となっている。数学的には、リッチ曲率がゼロであり、ケーラー多様体の条件を満たすことで定義される。この空間の形状が素粒子の特性を決める可能性があり、物理学の最前線で研究が続いている。